Agrégation limitée par diffusion

Le modèle d'agrégation limitée par diffusion (en anglais Diffusion Limited Aggregation et abrégé en DLA) est un modèle mathématique de croissance aléatoire introduit en 1981 par Witten et Sanders.

Ce modèle propose la création d'un système de particules (cluster), par agrégations successives. En particulier, dans le modèle d'agrégation externe, chaque particule effectue successivement une marche aléatoire depuis l'infini jusqu'à rencontrer le système, sur lequel elle vient s'agréger au niveau de la position d'impact.

Modélisation mathématique

Modèle discret

On considère le réseau discret $\mathbb {Z} ^{d}$ où $d\geqslant 2$. Le modèle DLA construit une suite $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de sous-ensembles finis de $\mathbb {Z} ^{d}$ de la manière suivante. On se donne initialement un système $A_{0}\subset \mathbb {Z} ^{d}$.

On construit ensuite par récurrence, les systèmes suivants. Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$, on suppose avoir construit les systèmes $A_{0},\dots ,A_{n}$. La distribution de la position d'impact de la particule sur le bord de l'ensemble $A_{n}$ est définie par la mesure harmonique $\mu _{\partial A_{n}}$ sur $\partial A_{n}$, où $\partial A_{n}$ désigne le bord extérieur de l'ensemble $A_{n}$ à savoir $\{x\in \mathbb {Z} ^{d},\,\mathrm {d} (x,A_{n})=1\}$. On tire un point $Y_{n}$ sur le bord extérieur de $A_{n}$ suivant $\mu _{\partial A_{n}}$. On pose alors,

$A_{n+1}=A_{n}\cup \{Y_{n}\}$.

La mesure harmonique, ici considérée, se construit de la manière suivante. Pour une marche aléatoire simple symétrique, $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, on se donne un ensemble $E\subset \mathbb {Z} ^{d}$ et un point $x\in \mathbb {Z} ^{d}$. La mesure harmonique $H_{E}(x,\cdot )$ sur $E$ partant de $x$ est définie par

$H_{E}(x,y)=\mathbb {P} _{x}(X_{\tau (E)}=y\ |\ \tau (E)<+\infty )$,

où $\tau (E)$ désigne le temps d'atteinte de $E$ par la marche aléatoire $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ à savoir $\inf\{t\in \mathbb {N} ,\ X_{t}\in E\}$, et $\mathbb {P} _{x}$ la probabilité gouvernant la marche aléatoire commençant à $x$. En particulier, si l'ensemble $E$ est fini, la quantité $H_{E}(x,y)$ possède une limite $\mu _{E}(y)$ quand $|x|\to +\infty$. La fonction $\mu _{E}$ ainsi définie est en fait une mesure de probabilité sur l'ensemble $E$ et correspond à la distribution du point d'impact sur $E$ d'une marche aléatoire commençant « à l'infini ».

L'un des seuls résultats mathématiques concernant ce modèle est dû à Harry Kesten, qui démontre une borne supérieure asymptotique de la taille d'un système.

(Kesten 1990) —  Il existe une famille de constantes $(C_{d})_{d\geqslant 2}$ telles que, presque sûrement, à partir d'un certain rang

$r(n)\leqslant C_{d}n^{2/(d+1)}\quad {\text{si }}d\neq 3,$

$r(n)\leqslant C_{3}(n\log n)^{1/2}\quad {\text{si }}d=3,$

où $r(n)=\max\{\|x\|,x\in A_{n}\}$.

Références

• (en) H. Kesten, « How long are the arms in DLA », Journal of Physics A, vol. 20,‎ 1987 (DOI 10.1088/0305-4470/20/1/007)